variance
La variance mesure la dispersion des observations autour de leur moyenne. En L2, c\'est une notion transversale : en statistique descriptive (dispersions des revenus, des notes), en probabilités (loi des grands nombres, TCL), en économétrie (variance de l\'estimateur MCO, hétéroscédasticité, R²), et en finance (volatilité, risque). La variance est le deuxième moment centré d\'une distribution, après la moyenne (premier moment). Son pendant plus intuitif, l\'écart-type (σ = √Var), est exprimé dans la même unité que les données. Maîtriser la variance — son calcul, ses propriétés algébriques et ses implications — est un prérequis pour toute analyse quantitative.
🎯 Objectifs d'apprentissage
- Calculer la variance et l\'écart-type d\'une série statistique et d\'une variable aléatoire
- Connaître les propriétés algébriques de la variance (Var(aX+b) = a²Var(X))
- Comprendre le lien entre variance et covariance (Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y))
- Analyser la variance de l\'estimateur MCO et le théorème de Gauss-Markov
- Détecter et traiter l\'hétéroscédasticité (White, Breusch-Pagan, écarts-types robustes)
- Relier la variance au risque en finance (volatilité d\'un portefeuille)
📚 Concepts clés à maîtriser
Variance et écart-type
Définition : Var(X) = E[(X - μ)²] = E(X²) - [E(X)]². L\'écart-type σ = √Var(X) est dans la même unité que X.
Intuition économique : La variance mesure « combien les données s\'éloignent de la moyenne en moyenne ». Un écart-type de 5 signifie qu\'une observation typique s\'écarte de 5 unités de la moyenne.
Formule :
Variance empirique : s² = (1/(n-1)) Σ(xᵢ - x̄)². Division par n-1 (correction de Bessel) pour un estimateur sans biais.
Application L2 : Base de tous les intervalles de confiance (IC = x̄ ± z × s/√n) et de tous les tests statistiques.
Propriétés algébriques
Définition : Var(aX + b) = a²Var(X). Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y). Si X et Y sont indépendants, Cov(X,Y) = 0, donc Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y).
Intuition économique : Ajouter une constante ne change pas la dispersion (Var(X+b) = Var(X)). Multiplier par a dilate les écarts au carré (Var(aX) = a²Var(X)).
Application L2 : Calcul de la variance d\'un portefeuille : Var(Rp) = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂Cov(R₁,R₂). La diversification réduit le risque grâce aux covariances.
Variance de l'estimateur MCO
Définition : En régression simple, Var(β̂₁) = σ²/(Σ(xᵢ-x̄)²). La précision de l\'estimateur augmente avec la variabilité de X et diminue avec la variance des erreurs σ².
Intuition économique : Plus vos données X sont dispersées (SSₓ grand), plus votre estimation de la pente est précise. C\'est comme mesurer une droite : plus les points sont étalés, mieux on voit la pente.
Formule :
Var(β̂₁) = σ² / SSₓ, où SSₓ = Σ(xᵢ - x̄)². Théorème de Gauss-Markov : β̂ MCO a la plus petite variance parmi les estimateurs linéaires sans biais.
Application L2 : Gauss-Markov : sous les hypothèses classiques, MCO est BLUE (Best Linear Unbiased Estimator).
Hétéroscédasticité
Définition : Situation où la variance des erreurs εᵢ n\'est pas constante : Var(εᵢ) = σᵢ² ≠ σ². Viole l\'hypothèse d\'homoscédasticité des MCO.
Intuition économique : La dispersion des résidus change selon la valeur de X. Par exemple, les revenus des ménages riches varient plus que ceux des ménages pauvres.
Application L2 : Conséquences : MCO reste sans biais mais n\'est plus efficient, et les écarts-types classiques sont incorrects. Solutions : écarts-types robustes (White), MCG (GLS).
Décomposition de la variance (R²)
Définition : La variance totale de Y se décompose en variance expliquée et variance résiduelle : SST = SSE + SSR. Le R² = SSE/SST mesure la part de variance expliquée par le modèle.
Intuition économique : Si le R² est de 0,80, le modèle explique 80 % de la variabilité de Y. Les 20 % restants sont dus à des facteurs non inclus dans le modèle.
Formule :
R² = 1 - SSR/SST = SSE/SST. SST = Σ(yᵢ-ȳ)², SSE = Σ(ŷᵢ-ȳ)², SSR = Σ(εᵢ²).
Application L2 : Attention : un R² élevé ne garantit pas la causalité ni l\'absence de biais. Le R² ajusté pénalise l\'ajout de variables non pertinentes.
👨🏫 Auteurs et références universitaires
⚠️ Pièges fréquents à éviter
❌ Erreur : Diviser par n au lieu de n-1 pour la variance empirique
💡 Pourquoi c'est faux : La division par n donne un estimateur biaisé de la variance populationnelle. La correction de Bessel (n-1) rend l\'estimateur sans biais.
✅ Comment éviter : Retenir : s² = Σ(xᵢ-x̄)²/(n-1) pour un échantillon. Division par n uniquement pour une population complète.
❌ Erreur : Ignorer l\'hétéroscédasticité dans une régression
💡 Pourquoi c'est faux : Avec hétéroscédasticité, les écarts-types des MCO sont incorrects : les tests t et F ne sont pas fiables. Le coefficient lui-même est correct mais sa précision estimée est fausse.
✅ Comment éviter : Tester (White, Breusch-Pagan) et corriger (écarts-types robustes HC, MCG). C\'est un réflexe indispensable.
❌ Erreur : Interpréter la variance en unités (au lieu de l\'écart-type)
💡 Pourquoi c'est faux : La variance est en unités au carré (€², cm²), ce qui n\'est pas interprétable directement. L\'écart-type (en €, cm) est l\'indicateur de dispersion lisible.
✅ Comment éviter : Utiliser l\'écart-type pour l\'interprétation et la communication. Garder la variance pour les calculs algébriques.
📝 Questions types d'examen (Licence 2)
- Calculez la variance et l\'écart-type d\'une série de données. Pourquoi divise-t-on par n-1 dans la formule échantillonnale ?
- Démontrez que Var(aX + b) = a²Var(X). Appliquez à la variance d\'un portefeuille à deux actifs.
- Qu\'est-ce que l\'hétéroscédasticité ? Quelles conséquences sur les estimateurs MCO et comment la corriger ?
- Expliquez la décomposition SST = SSE + SSR. Comment le R² en découle-t-il ?
- Qu\'est-ce que le théorème de Gauss-Markov ? Pourquoi MCO est-il BLUE sous les hypothèses classiques ?
📌 À retenir
La variance (Var(X) = E[(X-μ)²]) mesure la dispersion et le risque. Propriétés clés : Var(aX+b) = a²Var(X), Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)+2Cov si dépendantes. En MCO, Var(β̂) = σ²/SSₓ (Gauss-Markov : BLUE). L\'hétéroscédasticité rend les écarts-types classiques invalides (White, 1980 : robustes). R² = SSE/SST décompose la variance en partie expliquée et résiduelle. L\'examinateur attend calcul, propriétés, correction de Bessel, hétéroscédasticité et R².