Une équipe applique directement PCA de scikit-learn à deux variables, revenu en euros et âge en années. Quel traitement des échelles est effectivement assuré par PCA ?

L'implémentation PCA centre chaque colonne avant la décomposition, mais ne la divise pas par son écart-type. Revenu et âge peuvent donc peser différemment selon leurs variances dans l'ACP obtenue. La réduction automatique évoquée en A attribue à PCA une étape qui doit être décidée en amont. C inverse les opérations : réduire une colonne implique de traiter sa dispersion, mais ne décrit pas le traitement interne de PCA. D omet même le centrage effectué par l'estimateur. Si des unités hétérogènes doivent avoir un poids comparable, préparer explicitement des variables standardisées avant l'ACP (scikit-learn, User Guide, 2.5.1.1).

Centrage puis réduction automatique de chaque variable à une variance égale à un.

Centrage des variables, sans réduction automatique de leurs dispersions.

Réduction des variables, sans soustraction préalable de leurs moyennes.

Projection des données brutes sans centrage ni réduction des deux variables.

Une ACP sur trois variables centrées donne les valeurs propres 6, 3 et 1, dans cet ordre. Quelle part de l'inertie totale porte le premier axe ?

La somme des valeurs propres est 6 + 3 + 1 = 10 unités d'inertie. La première composante porte 6 unités, donc 6/10 = 60 % de la variance totale ; c'est une part propre à cet axe, pas le cumul des axes. A calcule 3/10 = 30 %, qui correspond au deuxième axe. B calcule 1/10 = 10 %, qui correspond au troisième. C calcule (6 + 3)/10 = 90 %, ce qui décrit la part cumulée des deux premiers axes, et répond à une autre question. Les composantes successives de l'ACP captent une variance décroissante sur des directions orthogonales (scikit-learn, User Guide, 2.5.1).

30 % de l'inertie totale, en divisant 3 par la somme des valeurs propres.

10 % de l'inertie totale, en divisant 1 par la somme des valeurs propres.

90 % de l'inertie totale, en additionnant les deux premières valeurs propres.

60 % de l'inertie totale, en divisant 6 par la somme des valeurs propres.

Une ACP a pour variances par axe 5, 3, 1 et 1. L'équipe veut conserver au moins 80 % de la variance avec le minimum d'axes. Combien d'axes retenir ?

La variance totale est 5 + 3 + 1 + 1 = 10. Un axe ne conserve que 5/10 = 50 %, tandis que deux axes conservent (5 + 3)/10 = 80 % : le seuil est atteint avec deux dimensions. B confond la prééminence du premier axe avec l'objectif de 80 %, alors que 50 % est insuffisant. C atteint (5 + 3 + 1)/10 = 90 %, mais retient une dimension supplémentaire sans gain nécessaire au seuil. D conserve 10/10 = 100 %, au prix de toutes les dimensions, et ne satisfait pas la condition de minimum. L'ACP vise ici une compression linéaire qui préserve la part choisie de dispersion (scikit-learn, User Guide, 2.5.1.3).

Deux axes : leur variance cumulée atteint 8 sur un total de 10.

Un axe : sa variance isolée atteint 5 sur un total de 10.

Trois axes : leur variance cumulée atteint 9 sur un total de 10.

Quatre axes : leur variance cumulée atteint 10 sur un total de 10.

Une ACP est ajustée aux variables centrées revenu en euros et durée en années. Le revenu est ensuite exprimé en milliers d'euros, puis l'ACP est réajustée. Quel changement est plausible ?

Passer d'euros à milliers d'euros divise les valeurs centrées du revenu par 1 000 et sa variance par 1 000², soit un million. L'ACP sur données seulement centrées peut alors changer ses directions dominantes, même si les observations sous-jacentes sont les mêmes. A suppose à tort une réduction automatique dans PCA ; elle aurait neutralisé cet effet d'unité. B transforme une conversion numérique en changement de type statistique, sans fondement. D confond division par une constante positive et changement de signe : ni les revenus ni leur orientation ne sont renversés. La documentation scikit-learn précise que PCA centre mais ne réduit pas ses entrées (2.5.1.1).

Les axes restent identiques, car PCA standardise chaque variable avant l'ajustement.

Les axes deviennent des classes, car changer d'unité crée une variable qualitative.

Les axes peuvent changer, car la variance du revenu est divisée par un million.

Les axes sont inversés, car le revenu change de signe quand on divise par mille.

Deux axes d'une ACP gardent 92 % de la variance. Une variable de faible variance, liée à un risque rare à étudier, est surtout portée par un troisième axe. Quelle décision méthodologique convient ?

Une rétention de 92 % de variance mesure une reconstruction globale, pas la conservation de chaque signal pertinent. Puisque le risque rare se projette surtout sur le troisième axe, il faut confronter le coût de compression à la question étudiée avant de fixer le nombre d'axes. A transforme une proportion globale en garantie locale pour une variable particulière. C accentue la perte potentielle en supprimant même le deuxième axe sans diagnostic. D rejette une méthode linéaire qui reste utilisable ; l'enjeu est le choix des composantes et la pertinence du signal, pas une impossibilité de projeter. L'ACP préserve d'abord la variance, non un critère métier externe (scikit-learn, User Guide, 2.5.1.3).

Garder deux axes : la part de variance globale garantit la conservation du signal rare.

Examiner le troisième axe et le risque avant de fixer le nombre d'axes retenus.

Garder un axe : la première direction suffit à représenter les risques rares.

Écarter l'ACP : une variable faiblement dispersée empêche toute projection.

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