Trois lots indépendants de 10 essais de Bernoulli donnent 2, 4 et 6 succès, avec une probabilité commune p. Quelle estimation MV de p résulte des données ?

Le modèle binomial à probabilité commune conduit à maximiser p puissance 12 fois (1-p) puissance 18 : les trois lots apportent 2+4+6=12 succès et 3 fois 10=30 essais. La dérivée de la log-vraisemblance s'annule à 12/30=0,40. Le calcul à 0,30 perd trois succès lors de l'agrégation ; celui à 0,60 compte 18 échecs comme succès ; celui à 0,50 substitue un équilibre fictif de 15 succès aux 12 observés. La section 4.1 de STAT 415 établit précisément que le dénominateur est le nombre total d'essais binomiaux indépendants.

p = 0,30, en rapportant 9 succès à 30 essais.

p = 0,40, en rapportant 12 succès à 30 essais.

p = 0,60, en rapportant 18 succès à 30 essais.

p = 0,50, en rapportant 15 succès à 30 essais.

Pour quatre observations Bernoulli indépendantes 1, 0, 1, 0, un logiciel propose une log-vraisemblance en p, à constante près. Laquelle correspond aux observations ?

Chaque valeur 1 contribue ln(p), chaque valeur 0 contribue ln(1-p). Il y a deux valeurs de chaque type ; le produit p²(1-p)² devient 2 ln(p)+2 ln(1-p). L'option qui met 4 devant ln(p) traite aussi les zéros comme des succès. La soustraction devant le terme d'échec inverse la contribution d'une probabilité inférieure à un. Le coefficient 4 devant ln(1-p) recompte les échecs au lieu de compter les deux zéros observés. STAT 415, section 4.1, justifie le passage du produit indépendant à la somme logarithmique.

2 ln(p) + 2 ln(1-p), produit des quatre masses.

4 ln(p) + 0 ln(1-p), produit des quatre masses.

2 ln(p) - 2 ln(1-p), produit des quatre masses.

2 ln(p) + 4 ln(1-p), produit des quatre masses.

Des observations indépendantes de loi uniforme sur [0, a] valent 1, 3 et 5. Pour a positif et borne admise, quelle valeur maximise la vraisemblance ?

Le support exige a au moins égal au maximum observé, soit 5. Sur ce domaine la vraisemblance est a puissance -3 ; elle décroît quand a augmente. Son maximum est donc obtenu à la borne admissible 5. La moyenne 3 viole le support car 5 a été observé ; le triple de la moyenne, 9, reste admissible mais donne une densité produit plus faible ; le minimum 1 exclut à la fois 3 et 5. La dérivée de a puissance -3 ne s'annule pas à l'intérieur : STAT 415, section 4.3, impose de tenir compte du support dépendant du paramètre.

a = 3, moyenne des observations de l'échantillon.

a = 9, triple de la moyenne des observations.

a = 5, maximum des observations de l'échantillon.

a = 1, minimum des observations de l'échantillon.

Une enquête mesure deux réponses binaires chez chaque personne ; les réponses d'une même personne sont corrélées. Un produit de masses Bernoulli individuelles est maximisé. Quel diagnostic est défendable ?

Le produit de masses marginales est une vraisemblance jointe seulement si les facteurs correspondent à des observations indépendantes, hypothèse mise en tension par les réponses corrélées au sein d'une personne. Il faut spécifier une loi jointe des paires pour interpréter ce produit comme vraisemblance du modèle. La nature binaire ne garantit aucune indépendance. Le logarithme transforme un produit en somme mais ne crée pas une factorisation probabiliste. Compter deux réponses comme deux personnes efface précisément l'unité d'échantillonnage. STAT 415, section 4.1, explicite la raison de la multiplication des masses.

Le produit est valide car les réponses restent binaires, même en grappes.

Le produit est valide car le logarithme sépare les deux réponses corrélées.

Le produit est valide car deux réponses par personne font deux personnes.

Le produit suppose l'indépendance ; il faut modéliser la loi jointe des paires.

Pour quatre mesures normales indépendantes 1, 1, 3, 3, la moyenne et la variance sont inconnues. Quel couple d'estimations maximise la vraisemblance normale ?

Pour ces quatre observations, la somme est 8, donc la moyenne MV vaut 8/4=2. Les écarts à 2 sont -1,-1,1,1 ; leur somme de carrés vaut 4, et la variance MV vaut 4/4=1. La proposition avec 4/3 emploie la correction de biais par n-1, qui est un autre critère que le maximum de vraisemblance. La moyenne 3 ne maximise pas la vraisemblance : elle diffère de 8/4. La variance 4 oublie le dénominateur 4. Penn State STAT 415, section 4.4, dérive conjointement ces deux estimateurs normaux.

Moyenne 2 ; variance 1, somme carrée 4 divisée par 4.

Moyenne 2 ; variance 4/3, somme carrée 4 divisée par 3.

Moyenne 3 ; variance 1, somme carrée 4 divisée par 4.

Moyenne 2 ; variance 4, somme carrée 4 sans division.

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