Paramètres de position : moyenne, médiane, mode, quantiles (L1 statistiques)

Les paramètres de position (ou de tendance centrale) répondent à une question simple : autour de quelle valeur les données se concentrent-elles ? Trois indicateurs principaux coexistent — la moyenne, la médiane et le mode — auxquels s'ajoutent les quantiles, qui situent une observation dans l'ensemble. Aucun n'est « le bon » dans l'absolu : le choix dépend de la nature de la variable et de la forme de la distribution.

La moyenne est la somme des valeurs divisée par leur nombre : $\bar x = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$ (ou une moyenne pondérée par les effectifs pour une série groupée). Elle possède deux propriétés remarquables : la somme des écarts à la moyenne est nulle ($\sum (x_i - \bar x) = 0$) et elle minimise la somme des carrés des écarts. Son défaut : elle est sensible aux valeurs extrêmes, qui la « tirent » dans leur direction.

La médiane est la valeur qui partage la série ORDONNÉE en deux moitiés égales (pour n pair, on prend la moyenne des deux valeurs centrales). Contrairement à la moyenne, elle est robuste aux valeurs aberrantes, car elle ne dépend que du rang et minimise la somme des écarts absolus. Le mode est la valeur (ou la classe) la plus fréquente ; c'est le seul paramètre de position calculable pour une variable qualitative.

Les quantiles généralisent la médiane en découpant la distribution en parts égales : quartiles (Q1, Q2 = médiane, Q3), déciles, centiles. Ils situent une observation en position relative (« être dans le dernier décile de revenus ») et servent à construire des indicateurs de dispersion robustes comme l'écart interquartile (Q3 − Q1), à la base de la boîte à moustaches.

Sur une distribution symétrique, moyenne, médiane et mode coïncident. Sur une distribution étalée à droite (revenus, patrimoines), on observe moyenne > médiane > mode : la médiane est alors préférée car la moyenne est trompeuse (tirée par les hauts revenus). L'échelle de mesure impose aussi le paramètre licite : le mode pour une variable nominale, la médiane à partir d'une variable ordinale, la moyenne pour une variable quantitative. En QCM, ces règles évitent le contresens le plus courant.