Loi des grands nombres et théorème central limite (L1 probabilités)

La loi des grands nombres et le théorème central limite sont les deux théorèmes limites qui fondent la statistique. En L1 du parcours data pour économistes, dans le cours de probabilités, les QCM CampusQCM en testent l'énoncé et la portée. La loi des grands…

La loi des grands nombres et le théorème central limite sont les deux théorèmes limites qui fondent la statistique. En L1 du parcours data pour économistes, dans le cours de probabilités, les QCM CampusQCM en testent l'énoncé et la portée. La loi des grands nombres (LGN) affirme que la moyenne empirique d'un grand nombre de variables indépendantes et de même loi converge vers l'espérance théorique : $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \to E(X)$ quand $n \to \infty$. Elle justifie qu'on estime une espérance par une moyenne d'échantillon : plus l'échantillon est grand, plus l'estimation est précise. Le théorème central limite (TCL) va plus loin : il décrit la forme de la fluctuation de cette moyenne. Pour des variables indépendantes de même loi d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$, la moyenne centrée réduite converge vers une loi normale : $\dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \to \mathcal{N}(0, 1)$. Autrement dit, la somme ou la moyenne d'un grand nombre de variables se comporte approximativement comme une loi normale, quelle que soit la loi de départ. Le TCL explique l'omniprésence de la loi normale et fonde les intervalles de confiance et les tests d'hypothèses. C'est le résultat le plus important du cours de probabilités appliqué à la statistique.