La méthode du maximum de vraisemblance (L2 inférence statistique)

Le maximum de vraisemblance est la méthode d'estimation la plus utilisée en statistique et en économétrie moderne. En L2 du parcours data pour économistes, dans le cours d'inférence statistique, les QCM CampusQCM en testent le principe. L'idée, due à Ronald Fisher, est de choisir…

Le maximum de vraisemblance est la méthode d'estimation la plus utilisée en statistique et en économétrie moderne. En L2 du parcours data pour économistes, dans le cours d'inférence statistique, les QCM CampusQCM en testent le principe. L'idée, due à Ronald Fisher, est de choisir la valeur du paramètre qui rend les données observées les plus probables. On définit la fonction de vraisemblance $L(\theta)$ comme la probabilité (ou densité) d'observer l'échantillon, vue comme une fonction du paramètre $\theta$ : pour un échantillon indépendant, c'est le produit des densités individuelles, $L(\theta) = \prod_i f(x_i; \theta)$. L'estimateur du maximum de vraisemblance $\hat{\theta}_{MV}$ est la valeur de $\theta$ qui maximise cette fonction. En pratique, on maximise plutôt la log-vraisemblance $\ell(\theta) = \ln L(\theta) = \sum_i \ln f(x_i; \theta)$, car le logarithme transforme le produit en somme, plus facile à dériver, sans changer le point de maximum. On annule la dérivée (équation de vraisemblance) pour trouver l'estimateur. Le maximum de vraisemblance possède d'excellentes propriétés asymptotiques : il est convergent, asymptotiquement sans biais, asymptotiquement normal et efficace (sa variance atteint la borne de Cramér-Rao). C'est pourquoi il est le socle de nombreux modèles (régression logistique, modèles de durée, séries temporelles). Comprendre la vraisemblance comme une fonction du paramètre, et non des données, est le point clé.