Estimateur des MCO : propriétés (BLUE) (L3 économétrie linéaire)

L'estimateur des moindres carrés ordinaires possède, sous les hypothèses du modèle classique, des propriétés qui justifient son emploi universel. En L3 du parcours data pour économistes, dans le cours d'économétrie linéaire, les QCM CampusQCM testent ces propriétés résumées par l'acronyme BLUE. Rappelons l'estimateur matriciel…

L'estimateur des moindres carrés ordinaires possède, sous les hypothèses du modèle classique, des propriétés qui justifient son emploi universel. En L3 du parcours data pour économistes, dans le cours d'économétrie linéaire, les QCM CampusQCM testent ces propriétés résumées par l'acronyme BLUE. Rappelons l'estimateur matriciel $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$. Première propriété, la linéarité : $\hat{\beta}$ est une fonction linéaire du vecteur $Y$. Deuxième propriété, l'absence de biais : sous l'hypothèse d'exogénéité $E(\varepsilon \mid X) = 0$, on montre que $E(\hat{\beta}) = \beta$, l'estimateur vise juste en moyenne. Troisième propriété, la variance minimale : parmi tous les estimateurs linéaires sans biais, les MCO ont la plus faible variance, avec $V(\hat{\beta}) = \sigma^2 (X'X)^{-1}$. La conjonction de ces propriétés fait des MCO le Best Linear Unbiased Estimator (BLUE) : meilleur (variance minimale) estimateur linéaire sans biais. C'est le contenu du théorème de Gauss-Markov. On distingue ces propriétés à distance finie (vraies pour tout $n$) des propriétés asymptotiques : l'estimateur MCO est aussi convergent (il tend vers $\beta$ quand $n$ croît) et asymptotiquement normal, ce qui fonde l'inférence. La variance des erreurs $\sigma^2$ est estimée par la variance résiduelle. Bien comprendre que BLUE signifie « optimal dans la classe des estimateurs linéaires sans biais » — et non optimal dans l'absolu — est le point clé souvent piégé.