Le modèle linéaire multiple en notation matricielle (L3 économétrie linéaire)

La notation matricielle est l'écriture compacte et générale du modèle de régression multiple, indispensable pour démontrer les propriétés des MCO. En L3 du parcours data pour économistes, dans le cours d'économétrie linéaire, les QCM CampusQCM en testent la maîtrise. Le modèle à $k$ variables…

La notation matricielle est l'écriture compacte et générale du modèle de régression multiple, indispensable pour démontrer les propriétés des MCO. En L3 du parcours data pour économistes, dans le cours d'économétrie linéaire, les QCM CampusQCM en testent la maîtrise. Le modèle à $k$ variables explicatives pour $n$ observations s'écrit $Y = X\beta + \varepsilon$, où $Y$ est le vecteur des observations de la variable expliquée (dimension $n \times 1$), $X$ la matrice de design (dimension $n \times (k+1)$, dont la première colonne est constituée de 1 pour la constante), $\beta$ le vecteur des coefficients (dimension $(k+1) \times 1$) et $\varepsilon$ le vecteur des erreurs (dimension $n \times 1$). L'estimateur des MCO minimise la somme des carrés des résidus $\varepsilon'\varepsilon = (Y - X\beta)'(Y - X\beta)$. En dérivant et en annulant, on obtient les équations normales $X'X\hat{\beta} = X'Y$, dont la solution est $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$, à condition que la matrice $X'X$ soit inversible (absence de colinéarité parfaite). Cette formule est la pierre angulaire de l'économétrie : elle généralise le cas simple ($\hat{\beta}_1 = \text{cov}(X,Y)/V(X)$) à un nombre quelconque de variables. La matrice de variance-covariance de l'estimateur vaut $V(\hat{\beta}) = \sigma^2 (X'X)^{-1}$. Comprendre les dimensions des objets et la condition d'inversibilité de $X'X$ est essentiel pour la suite (Gauss-Markov, multicolinéarité).