Le théorème de Gauss-Markov (L3 économétrie linéaire)

Le théorème de Gauss-Markov est le résultat fondateur qui justifie le recours systématique aux moindres carrés ordinaires. En L3 du parcours data pour économistes, dans le cours d'économétrie linéaire, les QCM CampusQCM en testent l'énoncé et les conditions. Le théorème affirme que, sous un…

Le théorème de Gauss-Markov est le résultat fondateur qui justifie le recours systématique aux moindres carrés ordinaires. En L3 du parcours data pour économistes, dans le cours d'économétrie linéaire, les QCM CampusQCM en testent l'énoncé et les conditions. Le théorème affirme que, sous un ensemble d'hypothèses précises, l'estimateur des MCO est le meilleur estimateur linéaire sans biais (BLUE). Les hypothèses requises sont : la linéarité du modèle dans les paramètres, l'exogénéité des régresseurs $E(\varepsilon \mid X) = 0$ (qui assure l'absence de biais), l'homoscédasticité $V(\varepsilon_i) = \sigma^2$ (variance constante des erreurs) et la non-autocorrélation $\text{cov}(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = 0$ ; on ajoute l'absence de colinéarité parfaite pour que $X'X$ soit inversible. Sous ces conditions — et c'est remarquable, sans hypothèse de normalité des erreurs — aucun autre estimateur linéaire sans biais n'a une variance plus faible que les MCO. Le théorème garantit donc l'efficacité des MCO dans cette classe. Sa portée est aussi pédagogique : il indique précisément quelles hypothèses doivent tenir pour faire confiance aux MCO. Lorsque l'homoscédasticité ou la non-autocorrélation est violée, les MCO restent sans biais mais ne sont plus BLUE : il existe alors des estimateurs plus efficaces (moindres carrés généralisés, MCG) et les écarts-types usuels deviennent erronés, faussant l'inférence. Comprendre que la normalité n'est pas requise pour Gauss-Markov (elle ne sert qu'aux tests) est un point fréquemment piégé.