Tests d'ajustement et d'indépendance (khi-deux) (L2 inférence statistique)

Le test du khi-deux est un test non paramétrique très utilisé pour les données qualitatives, sous deux formes : l'ajustement et l'indépendance. En L2 du parcours data pour économistes, dans le cours d'inférence statistique, les QCM CampusQCM en testent le principe. Le test d'ajustement…

Le test du khi-deux est un test non paramétrique très utilisé pour les données qualitatives, sous deux formes : l'ajustement et l'indépendance. En L2 du parcours data pour économistes, dans le cours d'inférence statistique, les QCM CampusQCM en testent le principe. Le test d'ajustement compare une distribution observée à une distribution théorique : on se demande si les effectifs observés sont compatibles avec une loi supposée (par exemple, un dé est-il équilibré ?). Le test d'indépendance, appliqué à un tableau de contingence croisant deux variables qualitatives, examine si ces deux variables sont indépendantes (par exemple, le genre et le choix d'une filière). Dans les deux cas, on calcule la statistique $\chi^2 = \sum \dfrac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$, où $O_i$ sont les effectifs observés et $E_i$ les effectifs théoriques (attendus sous $H_0$). Pour le test d'indépendance, les effectifs théoriques se calculent à partir des marges du tableau : $E_{ij} = \dfrac{(\text{total ligne}_i)(\text{total colonne}_j)}{n}$. La statistique suit une loi du khi-deux dont le nombre de degrés de liberté dépend des dimensions ($k-1$ pour l'ajustement, $(l-1)(c-1)$ pour l'indépendance). Une valeur élevée du khi-deux (au-delà de la valeur critique) conduit à rejeter $H_0$ : la distribution ne s'ajuste pas, ou les variables ne sont pas indépendantes. Une condition d'application importante est que les effectifs théoriques soient suffisants (généralement $E_i \geq 5$).