Tests d'hypothèses : risques de première et seconde espèce (L2 inférence statistique)

Un test d'hypothèses confronte deux propositions concurrentes à partir des données : l'hypothèse nulle H0 (souvent le statu quo, « pas d'effet ») et l'hypothèse alternative H1. La démarche est asymétrique et prudente : on cherche à savoir si les données apportent une preuve suffisante pour REJETER H0. On ne « prouve » jamais H0 ; au mieux, on ne parvient pas à la rejeter.

Toute décision peut se tromper de deux façons. L'erreur de première espèce, de probabilité α (le seuil du test), consiste à rejeter H0 alors qu'elle est vraie : c'est un FAUX POSITIF. L'erreur de seconde espèce, de probabilité β, consiste à ne pas rejeter H0 alors qu'elle est fausse : c'est un FAUX NÉGATIF. La puissance du test, définie par $1 - \beta$, mesure sa capacité à détecter un effet réellement présent.

On résume les données par une statistique de test — par exemple, pour une moyenne, $z = \dfrac{\bar x - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$ — que l'on compare à une valeur critique définissant la zone de rejet au seuil α. De façon équivalente, on calcule la p-value (probabilité d'observer un résultat au moins aussi extrême si H0 est vraie) et l'on rejette H0 lorsque la p-value est inférieure à α.

À taille d'échantillon fixée, les deux risques s'opposent : diminuer α (être plus exigeant pour rejeter) augmente mécaniquement β, et inversement. Le seul moyen de réduire les deux simultanément est d'augmenter la taille de l'échantillon n. Le choix du seuil α dépend du coût relatif des erreurs : en dépistage médical, on redoute surtout le faux négatif (ne pas détecter un malade).

Trois erreurs d'interprétation sont fréquentes : croire qu'un « non-rejet » de H0 la démontre ; confondre significativité statistique et importance pratique (un effet minuscule devient significatif si n est énorme) ; et lire la p-value comme la probabilité que H0 soit vraie. Méthode QCM : bien formuler H0 et H1, associer α au faux positif (risque de première espèce) et β au faux négatif (seconde espèce), et conclure en comparant la statistique à la valeur critique, ou la p-value au seuil α.