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econometrie-1 · L2

Le coefficient de détermination R² : variance expliquée, lien avec r et version ajustée

Le R² mesure la part de la variance totale de Y expliquée par la régression via la décomposition SCT = SCE + SCR. En L2 et dans les QCM sur…

Illustration de la décomposition de la variabilité totale entre part expliquée et part résiduelle.
Le R² varie entre 0 et 1 dans une régression avec constante, mais un R² élevé ne prouve ni causalité ni bonne spécification.
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r*

Le R² mesure la part de la variance totale de Y expliquée par la régression via la décomposition SCT = SCE + SCR. En L2 et dans les QCM sur la régression simple, on attend la formule R² = SCE/SCT = 1 − SCR/SCT,…

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Objectifs d'apprentissage

  • Relier SCT, SCE et SCR et en déduire R² = SCE/SCT = 1 − SCR/SCT
  • Interpréter R² comme part de variance expliquée par le modèle linéaire
  • Justifier l'égalité R² = r² en régression simple (avec constante)
  • Définir le R² ajusté et son intérêt lorsque l'on ajoute des variables
  • Critiquer l'usage exclusif du R² pour comparer des modèles ou conclure sur la qualité économique
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Concepts clés à maîtriser

Décomposition de la variance

Intermédiaire
La variabilité totale de Y (SCT) se décompose en variabilité expliquée par le modèle (SCE) et résiduelle (SCR).
Le modèle « rapproche » Y de sa prédiction ; ce qui reste est le résidu.
Savoir reconnaître les trois sommes de carrés dans un tableau ANOVA ou un énoncé de QCM.
SCT = SCE + SCR ; R² = SCE/SCT = 1 − SCR/SCT

Interprétation de R²

Intermédiaire
R² est le rapport entre la variance expliquée par la régression et la variance totale de Y autour de Ȳ.
R² = 0,72 signifie que 72 % de la fluctuation de Y autour de sa moyenne est captée par X (dans le cadre du modèle estimé).
Attention : « expliqué » est statistique, pas forcément causal.
R² = SCE/SCT

Égalité R² = r² en régression simple

Intermédiaire
Avec constante, le R² de la régression de Y sur X coïncide avec le carré du coefficient de corrélation linéaire entre Y et X.
En simple, prédire Y par X revient à la même information que la corrélation linéaire globale.
Ne généralise pas tel quel en régression multiple : plusieurs X et corrélations partielles.
R² = r²_YX (régression simple)

R² ajusté (penalisation des régresseurs)

Intermédiaire
Le R² ajusté corrige les degrés de liberté : il pénalise l'ajout de variables peu utiles.
Ajouter un régresseur augmente mécaniquement R² ; l'ajusté peut baisser si le gain n'est pas suffisant.
Comparer des modèles avec n et k différents avec prudence ; lier au critère d'Akaike dans certains cours.
R̄² = 1 − (SCR/(n − k − 1)) / (SCT/(n − 1))

Limites et erreurs d'usage

Intermédiaire
Un R² élevé peut masquer une mauvaise spécification (non-linéarité, omitted variable) ; un R² faible peut suffire en sciences sociales.
Le R² dépend de l'échantillon, de la variance de Y et du design ; ce n'est pas une mesure universelle de « vérité ».
Distinguer qualité d'ajustement et validité des hypothèses (homoscédasticité, exogénéité, etc.).

Lien avec corrélation partielle (aperçu)

Intermédiaire
En multiple, le R² global agrège l'information de plusieurs X ; les contributions marginales relèvent d'autres outils (t, F, incréments de R²).
Plusieurs X corrélés peuvent « partager » la variance expliquée sans que chaque t soit grand.
Éviter d'assimiler le R² multiple au carré d'une seule corrélation simple.
Schema
Diagramme montrant une somme des carrés totale de 100 décomposée en 72 expliqués et 28 résiduels.
Décomposer la variance totale de yAvec constante, SCT=SCE+SCR et R²=SCE/SCT=1−SCR/SCT ; ici le modèle explique 72 % de la variabilité observée.
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Auteurs et références

Ronald Fisher Analyse de la variance et partitionnement des sommes de carrés
Carl Friedrich Gauss Moindres carrés et qualité d'ajustement
Damodar Gujarati R², R² ajusté et comparaison de modèles
Edward Leamer Sensibilité des régressions et critique des critères d'ajustement
  • Wooldridge, J. (2019) — Introductory Econometrics: A Modern Approach, Cengage
  • Davidson, R.; MacKinnon, J. (2004) — Econometric Theory and Methods, Oxford University Press
  • Theil, H. (1961) — Economic Forecasts and Policy, North-Holland
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Pièges fréquents à éviter

Erreur Affirmer que R² mesure l'ampleur de l'effet marginal de X sur Y
Pourquoi R² synthétise la part de variance expliquée par le modèle, pas la taille de β₁.
Solution Parler de variance expliquée ; commenter β₁ séparément pour l'effet marginal.
Erreur Écrire R² = r² en régression multiple comme une règle générale
Pourquoi L'égalité concerne la régression simple de Y sur un seul X (avec constante).
Solution Préciser « régression simple » avant d'identifier R² et r².
Erreur Croire que R² ajusté ne peut jamais dépasser R²
Pourquoi Le R² ajusté peut être négatif (modèle très mauvais) et n'est pas borné entre 0 et 1 comme R².
Solution Retenir la formule avec degrés de liberté et interpréter avec prudence pour k proche de n.
Erreur Conclure à un excellent modèle seulement parce que R² est proche de 1
Pourquoi Spurious regression, sur-ajustement, variables omises ou observations atypiques peuvent produire un R² trompeur.
Solution Croiser résidus, tests de spécification et sensibilité.
Schema
Tableau comparant le coefficient R carré et le R carré ajusté.
R² simple et R² ajustéMême le R² ajusté n'est pas un test de spécification ; diagnostics, théorie et performance hors échantillon restent nécessaires.
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Questions types d'examen

  1. Exprimez R² à partir de SCT, SCE et SCR.
  2. Pourquoi interprète-t-on R² comme une part de variance expliquée ?
  3. En quoi R² = r² en régression simple ?
  4. Qu'apporte le R² ajusté par rapport au R² brut lorsque l'on ajoute des régresseurs ?
  5. Quelles sont les limites du R² comme unique critère de qualité ?
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À retenir

R² = SCE/SCT = 1 − SCR/SCT : part de la variance de Y expliquée par le modèle. En régression simple avec constante, R² = r². Le R² ajusté pénalise la complexité (k). Un bon R² n'implique ni causalité ni spécification correcte. Les QCM portent sur les formules, l'interprétation et les pièges multiple vs simple.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que r* en econometrie-1 ?

Le R² mesure la part de la variance totale de Y expliquée par la régression via la décomposition SCT = SCE + SCR. En L2 et dans les QCM sur la régression simple, on attend la formule R² = SCE/SCT…

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Oui, nos questions correspondent au programme officiel de L2 du cursus Economie.

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