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econometrie-1 · L2

Le coefficient de détermination R² : variance expliquée, lien avec r et version ajustée

Le R² mesure la part de la variance totale de Y expliquée par la régression via la décomposition SCT = SCE + SCR. En L2 et dans les QCM sur…

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r*

Le R² mesure la part de la variance totale de Y expliquée par la régression via la décomposition SCT = SCE + SCR. En L2 et dans les QCM sur la régression simple, on attend la formule R² = SCE/SCT = 1 − SCR/SCT,…

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Objectifs d'apprentissage

  • Relier SCT, SCE et SCR et en déduire R² = SCE/SCT = 1 − SCR/SCT
  • Interpréter R² comme part de variance expliquée par le modèle linéaire
  • Justifier l'égalité R² = r² en régression simple (avec constante)
  • Définir le R² ajusté et son intérêt lorsque l'on ajoute des variables
  • Critiquer l'usage exclusif du R² pour comparer des modèles ou conclure sur la qualité économique
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Concepts clés à maîtriser

Décomposition de la variance

Intermédiaire
La variabilité totale de Y (SCT) se décompose en variabilité expliquée par le modèle (SCE) et résiduelle (SCR).
Le modèle « rapproche » Y de sa prédiction ; ce qui reste est le résidu.
Savoir reconnaître les trois sommes de carrés dans un tableau ANOVA ou un énoncé de QCM.
SCT = SCE + SCR ; R² = SCE/SCT = 1 − SCR/SCT

Interprétation de R²

Intermédiaire
R² est le rapport entre la variance expliquée par la régression et la variance totale de Y autour de Ȳ.
R² = 0,72 signifie que 72 % de la fluctuation de Y autour de sa moyenne est captée par X (dans le cadre du modèle estimé).
Attention : « expliqué » est statistique, pas forcément causal.
R² = SCE/SCT

Égalité R² = r² en régression simple

Intermédiaire
Avec constante, le R² de la régression de Y sur X coïncide avec le carré du coefficient de corrélation linéaire entre Y et X.
En simple, prédire Y par X revient à la même information que la corrélation linéaire globale.
Ne généralise pas tel quel en régression multiple : plusieurs X et corrélations partielles.
R² = r²_YX (régression simple)

R² ajusté (penalisation des régresseurs)

Intermédiaire
Le R² ajusté corrige les degrés de liberté : il pénalise l'ajout de variables peu utiles.
Ajouter un régresseur augmente mécaniquement R² ; l'ajusté peut baisser si le gain n'est pas suffisant.
Comparer des modèles avec n et k différents avec prudence ; lier au critère d'Akaike dans certains cours.
R̄² = 1 − (SCR/(n − k − 1)) / (SCT/(n − 1))

Limites et erreurs d'usage

Intermédiaire
Un R² élevé peut masquer une mauvaise spécification (non-linéarité, omitted variable) ; un R² faible peut suffire en sciences sociales.
Le R² dépend de l'échantillon, de la variance de Y et du design ; ce n'est pas une mesure universelle de « vérité ».
Distinguer qualité d'ajustement et validité des hypothèses (homoscédasticité, exogénéité, etc.).

Lien avec corrélation partielle (aperçu)

Intermédiaire
En multiple, le R² global agrège l'information de plusieurs X ; les contributions marginales relèvent d'autres outils (t, F, incréments de R²).
Plusieurs X corrélés peuvent « partager » la variance expliquée sans que chaque t soit grand.
Éviter d'assimiler le R² multiple au carré d'une seule corrélation simple.
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Auteurs et références

Ronald Fisher Analyse de la variance et partitionnement des sommes de carrés
Carl Friedrich Gauss Moindres carrés et qualité d'ajustement
Damodar Gujarati R², R² ajusté et comparaison de modèles
Edward Leamer Sensibilité des régressions et critique des critères d'ajustement
  • Wooldridge, J. (2019) — Introductory Econometrics: A Modern Approach, Cengage
  • Davidson, R.; MacKinnon, J. (2004) — Econometric Theory and Methods, Oxford University Press
  • Theil, H. (1961) — Economic Forecasts and Policy, North-Holland
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Pièges fréquents à éviter

Erreur Affirmer que R² mesure l'ampleur de l'effet marginal de X sur Y
Pourquoi R² synthétise la part de variance expliquée par le modèle, pas la taille de β₁.
Solution Parler de variance expliquée ; commenter β₁ séparément pour l'effet marginal.
Erreur Écrire R² = r² en régression multiple comme une règle générale
Pourquoi L'égalité concerne la régression simple de Y sur un seul X (avec constante).
Solution Préciser « régression simple » avant d'identifier R² et r².
Erreur Croire que R² ajusté ne peut jamais dépasser R²
Pourquoi Le R² ajusté peut être négatif (modèle très mauvais) et n'est pas borné entre 0 et 1 comme R².
Solution Retenir la formule avec degrés de liberté et interpréter avec prudence pour k proche de n.
Erreur Conclure à un excellent modèle seulement parce que R² est proche de 1
Pourquoi Spurious regression, sur-ajustement, variables omises ou observations atypiques peuvent produire un R² trompeur.
Solution Croiser résidus, tests de spécification et sensibilité.
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Questions types d'examen

  1. Exprimez R² à partir de SCT, SCE et SCR.
  2. Pourquoi interprète-t-on R² comme une part de variance expliquée ?
  3. En quoi R² = r² en régression simple ?
  4. Qu'apporte le R² ajusté par rapport au R² brut lorsque l'on ajoute des régresseurs ?
  5. Quelles sont les limites du R² comme unique critère de qualité ?
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À retenir

R² = SCE/SCT = 1 − SCR/SCT : part de la variance de Y expliquée par le modèle. En régression simple avec constante, R² = r². Le R² ajusté pénalise la complexité (k). Un bon R² n'implique ni causalité ni spécification correcte. Les QCM portent sur les formules, l'interprétation et les pièges multiple vs simple.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que r* en econometrie-1 ?

Le R² mesure la part de la variance totale de Y expliquée par la régression via la décomposition SCT = SCE + SCR. En L2 et dans les QCM sur la régression simple, on attend la formule R² = SCE/SCT…

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Ce QCM est-il adapté au programme de L2 ?

Oui, nos questions correspondent au programme officiel de L2 du cursus Economie.

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