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Statistiques & Probabilités · L2

La variance : mesurer la dispersion d'une variable aléatoire

La variance quantifie la dispersion d'une variable autour de son espérance. En L2 statistiques et probabilités, c'est l'indicateur central de l'incertitude, complémentaire de la moyenne. Elle intervient dans le calcul…

17 questions Corrections détaillées Niveau L2
16 min de cours ~5 min de QCM 8 sections Intermédiaire
1 Introduction 16 min restant
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variance

La variance quantifie la dispersion d'une variable autour de son espérance. En L2 statistiques et probabilités, c'est l'indicateur central de l'incertitude, complémentaire de la moyenne. Elle intervient dans le calcul de l'écart-type, la loi normale, les tests statistiques et l'économétrie (efficacité des estimateurs). Maîtriser…

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Objectifs d'apprentissage

  • Définir la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire
  • Appliquer la formule de König-Huygens
  • Utiliser les propriétés Var(aX+b) et Var(X+Y) sous indépendance
  • Calculer la variance des lois Bernoulli, binomiale et normale
  • Comprendre l'estimateur S² et le facteur n−1
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Concepts clés à maîtriser

Définition de la variance

Intermédiaire
Var(X) = E[(X − E(X))²] : écart quadratique moyen autour de l'espérance.
Plus la variance est grande, plus les valeurs s'éloignent de la moyenne.
Var(X) ≥ 0 ; Var(X) = 0 si et seulement si X est constante.
Var(X) = E(X²) − [E(X)]² (König-Huygens)

Écart-type

Intermédiaire
σ(X) = √Var(X), mesure de dispersion dans la même unité que X.
L'écart-type est plus interprétable que la variance (même dimension).
Règle empirique : ~68 % des valeurs dans [μ ± σ] pour une normale.
σ = √Var(X)

Propriétés algébriques

Intermédiaire
Var(aX+b) = a²Var(X) ; si X et Y indépendants : Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y).
La translation b n'affecte pas la dispersion ; le facteur a est au carré.
Indispensable pour sommer des variables aléatoires indépendantes.
Var(aX+b) = a²Var(X) ; Cov(X,Y)=0 ⇒ Var(X±Y) = Var(X)+Var(Y)

Variance empirique S²

Intermédiaire
Estimateur de la variance : S² = (1/(n−1)) Σ(xi − x̄)².
Le dénominateur n−1 corrige le biais (perte d'un degré de liberté).
E(S²) = σ² pour un échantillon gaussien.
S² = Σ(xi − x̄)² / (n−1)

Variances des lois usuelles

Intermédiaire
Bernoulli : p(1−p) ; Binomiale B(n,p) : np(1−p) ; Normale N(μ,σ²) : σ².
La variance maximale d'une Bernoulli est atteinte pour p = 0,5.
À connaître par cœur pour les QCM de probabilités.
Var(B(n,p)) = np(1−p) ; Var(N(μ,σ²)) = σ²

Lien avec l'économétrie

Intermédiaire
La variance des estimateurs mesure leur précision ; les BLUE minimisent la variance.
Un estimateur efficace a la plus faible variance parmi les estimateurs sans biais.
Prépare le théorème de Gauss-Markov et les intervalles de confiance.
Quick check

Var(X) = E(X²) - [E(X)]². Cette formule signifie que :

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Auteurs et références

Pierre-Simon Laplace Fondements de l'analyse des erreurs
Carl Friedrich Gauss Loi normale et moindres carrés
Henri Poincaré / König-Huygens Formule pratique de la variance
Georges Saporta Probabilités et statistique — manuel L2
  • Saporta, G. (2019) — Probabilités, analyse des données et statistique, Editions Technip
  • Casella, G.; Berger, R. (2002) — Statistical Inference, Duxbury Press
  • Gauss, C. F. (1809) — Theoria motus corporum coelestium, Méthode des moindres carrés
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Pièges fréquents à éviter

Erreur Confondre variance et écart-type dans N(μ, σ²)
Pourquoi σ² est la variance, σ est l'écart-type.
Solution Lire attentivement la notation de la loi normale.
Erreur Oublier le carré dans Var(aX+b) = a²Var(X)
Pourquoi La variance est homogène de degré 2, pas de degré 1.
Solution Retenir que Var(2X) = 4Var(X).
Erreur Sommer les variances sans vérifier l'indépendance
Pourquoi Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y).
Solution N'appliquer la formule simple qu'en cas d'indépendance (Cov=0).
Erreur Diviser par n au lieu de n−1 pour S²
Pourquoi La division par n sous-estime σ² (estimateur biaisé).
Solution Utiliser n−1 pour un estimateur sans biais de la variance.
Quick check

Pour une loi χ²(k), Var(X) est égal à :

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Questions types d'examen

  1. Définissez Var(X) et donnez la formule de König-Huygens.
  2. Calculez Var(aX+b) et justifiez le résultat.
  3. Quelle est la variance d'une loi binomiale B(n,p) ?
  4. Pourquoi l'estimateur S² utilise-t-il n−1 au dénominateur ?
  5. Quelle est la différence entre variance et écart-type ?
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À retenir

La variance mesure la dispersion autour de l'espérance : Var(X) = E[(X−μ)²] = E(X²)−μ². L'écart-type σ = √Var(X) a la même unité que X. Var(aX+b) = a²Var(X). Si X et Y sont indépendants, Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y). S² avec n−1 est sans biais. Lois clés : Bernoulli p(1−p), binomiale np(1−p), normale σ². L'examinateur attend définitions, formules et propriétés.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que variance en Statistiques & Probabilités ?

La variance quantifie la dispersion d'une variable autour de son espérance. En L2 statistiques et probabilités, c'est l'indicateur central de l'incertitude, complémentaire de la moyenne. Elle intervient dans le calcul de l'écart-type, la loi normale, les tests statistiques et l'économétrie…

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