Couples de variables aléatoires et lois jointes (L1 probabilités)

L'étude d'un couple de variables aléatoires décrit deux grandeurs aléatoires observées simultanément. En L1 du parcours data pour économistes, dans le cours de probabilités, les QCM CampusQCM testent les lois jointe, marginales et conditionnelles. La loi jointe du couple $(X, Y)$ donne $P(X = x_i, Y = y_j)$ dans le cas discret,…

L'étude d'un couple de variables aléatoires décrit deux grandeurs aléatoires observées simultanément. En L1 du parcours data pour économistes, dans le cours de probabilités, les QCM CampusQCM testent les lois jointe, marginales et conditionnelles. La loi jointe du couple $(X, Y)$ donne $P(X = x_i, Y = y_j)$ dans le cas discret, ou une densité jointe $f(x, y)$ dans le cas continu. Les lois marginales s'obtiennent en sommant (ou intégrant) sur l'autre variable : $P(X = x_i) = \sum_j P(X = x_i, Y = y_j)$. Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes si la loi jointe est le produit des marginales : $P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i)\,P(Y = y_j)$ pour tout couple. La covariance $\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ mesure leur liaison linéaire : positive si elles varient dans le même sens, nulle si non corrélées. L'indépendance implique une covariance nulle, mais la réciproque est fausse (une covariance nulle n'implique pas l'indépendance). La variance d'une somme s'écrit $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\text{Cov}(X, Y)$. Ces outils sont le fondement de la statistique bivariée, de la régression et de la gestion de portefeuille.