Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire (L1 probabilités)

L'espérance et la variance résument une variable aléatoire par sa valeur centrale et sa dispersion. En L1 du parcours data pour économistes, dans le cours de probabilités, les QCM CampusQCM testent leur calcul et leurs propriétés. L'espérance $E(X)$ est la moyenne théorique pondérée par les probabilités : $E(X) = \sum_i x_i\,p_i$ dans…

L'espérance et la variance résument une variable aléatoire par sa valeur centrale et sa dispersion. En L1 du parcours data pour économistes, dans le cours de probabilités, les QCM CampusQCM testent leur calcul et leurs propriétés. L'espérance $E(X)$ est la moyenne théorique pondérée par les probabilités : $E(X) = \sum_i x_i\,p_i$ dans le cas discret, $E(X) = \int x\,f(x)\,dx$ dans le cas continu. Elle est linéaire : $E(aX + b) = a\,E(X) + b$, et $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ toujours. La variance $V(X) = E[(X - E(X))^2]$ mesure la dispersion autour de l'espérance ; la formule de König-Huygens la simplifie en $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. La variance n'est pas linéaire : $V(aX + b) = a^2 V(X)$ (la constante $b$ disparaît). L'écart-type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ s'exprime dans l'unité de $X$. Plus généralement, le moment d'ordre $k$ est $E(X^k)$ ; les moments centrés mesurent la forme de la distribution (asymétrie au troisième ordre, aplatissement au quatrième). Ces indicateurs théoriques sont les analogues probabilistes de la moyenne et de la variance empiriques, et fondent l'inférence statistique.