Probabilités conditionnelles, indépendance et formule de Bayes (L1 probabilités)

La probabilité conditionnelle mesure la chance d'un événement A SACHANT qu'un événement B s'est réalisé : $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ (avec $P(B) > 0$). L'information B « recalibre » l'univers des possibles. On en déduit la formule des probabilités composées $P(A \cap B) = P(A \mid B)\,P(B)$, qui permet de remonter un arbre de probabilités branche par branche.

Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un n'apporte aucune information sur l'autre : $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$, ce qui équivaut à $P(A \mid B) = P(A)$. Attention à ne pas confondre indépendance et incompatibilité : deux événements incompatibles (qui ne peuvent se produire ensemble) sont au contraire fortement DÉPENDANTS, puisque savoir que l'un s'est produit garantit que l'autre ne s'est pas produit.

Lorsqu'une partition d'hypothèses $(B_1, \dots, B_k)$ recouvre tous les cas, la probabilité d'un événement A se reconstitue en pondérant ses probabilités conditionnelles : $P(A) = \sum_i P(A \mid B_i)\,P(B_i)$. C'est le calcul « vers le bas » de l'arbre : on somme sur toutes les branches menant à A. Cette formule est le dénominateur naturel de la formule de Bayes.

La formule de Bayes permet de passer de $P(A \mid B)$ à $P(B \mid A)$ : $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \mid B)\,P(B)}{P(A)}$. Elle actualise une probabilité a priori $P(B)$ en une probabilité a posteriori à la lumière de l'observation A. C'est le moteur du raisonnement inductif : diagnostic médical, filtres anti-spam, apprentissage bayésien reposent tous sur cette inversion.

Deux erreurs coûtent cher. La première consiste à confondre $P(A \mid B)$ et $P(B \mid A)$ (« erreur du procureur ») : la probabilité d'un test positif sachant la maladie n'est pas la probabilité de la maladie sachant le test positif. La seconde est de négliger le taux de base (la prévalence) : un test très sensible peut avoir une faible valeur prédictive si la maladie est rare. Méthode QCM : construire un arbre, appliquer Bayes, et toujours intégrer la probabilité a priori.