Probabilités conditionnelles, indépendance et formule de Bayes (L1 probabilités)

La probabilité conditionnelle mesure la chance d'un événement sachant qu'un autre est réalisé. En L1 du parcours data pour économistes, dans le cours de probabilités, les QCM CampusQCM en testent le calcul et l'interprétation, souvent contre-intuitive. La probabilité de $A$ sachant $B$ est $P(A\mid B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ pour $P(B) > 0$.…

La probabilité conditionnelle mesure la chance d'un événement sachant qu'un autre est réalisé. En L1 du parcours data pour économistes, dans le cours de probabilités, les QCM CampusQCM en testent le calcul et l'interprétation, souvent contre-intuitive. La probabilité de $A$ sachant $B$ est $P(A\mid B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ pour $P(B) > 0$. On en déduit la formule des probabilités composées $P(A\cap B) = P(A\mid B)\,P(B)$. Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un n'informe pas sur l'autre : $P(A\cap B) = P(A)\,P(B)$, soit $P(A\mid B) = P(A)$. La formule des probabilités totales décompose un événement selon un système complet $(B_i)$ : $P(A) = \sum_i P(A\mid B_i)\,P(B_i)$. La formule de Bayes inverse le conditionnement : $P(B_i\mid A) = \dfrac{P(A\mid B_i)\,P(B_i)}{\sum_j P(A\mid B_j)\,P(B_j)}$. Elle est centrale pour réviser une probabilité a priori en probabilité a posteriori à la lumière d'une observation, fondement du raisonnement bayésien, des tests diagnostiques et de l'apprentissage statistique. L'erreur classique consiste à confondre $P(A\mid B)$ et $P(B\mid A)$.