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Statistiques & Probabilités · L2

La loi binomiale : modéliser le nombre de succès sur n épreuves

La loi binomiale B(n,p) modélise le nombre de succès obtenus lors de n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune de probabilité de succès p. En L2 statistiques et probabilités, c'est l'une…

Loi binomiale décrivant le nombre de succès parmi n essais indépendants de probabilité p.
La masse de probabilité dépend du nombre d'essais n et de la probabilité de succès p ; son centre vaut np.
7 questions Corrections détaillées Niveau L2
16 min de cours ~5 min de QCM 8 sections Intermédiaire
1 Introduction 16 min restant
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binomiale

La loi binomiale B(n,p) modélise le nombre de succès obtenus lors de n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune de probabilité de succès p. En L2 statistiques et probabilités, c'est l'une des lois discrètes fondamentales : elle relie la loi de Bernoulli B(1,p) aux inférences…

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Objectifs d'apprentissage

  • Définir la loi binomiale B(n,p) et ses conditions d'application
  • Calculer P(X = k) avec les coefficients binomiaux C(n,k)
  • Appliquer E(X) = np et Var(X) = np(1-p)
  • Relier binomiale et loi de Bernoulli (somme de n Bernoulli indépendantes)
  • Utiliser l'approximation normale et l'approximation de Poisson
  • Interpréter la binomiale dans le contexte de la proportion d'échantillon
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Concepts clés à maîtriser

Définition et conditions

Intermédiaire
X suit B(n,p) si X compte le nombre de succès dans n épreuves indépendantes, chacune avec probabilité p de succès (et 1−p d'échec).
On répète n fois la même expérience aléatoire (pile ou face, réussite ou échec) et on compte les succès.
Modélise le nombre de clients satisfaits sur n sondages, de pièces défectueuses sur n contrôles, etc.
X = Σᵢ₌₁ⁿ Xᵢ avec Xᵢ ~ B(1,p) i.i.d.

Fonction de masse P(X = k)

Intermédiaire
Probabilité d'obtenir exactement k succès sur n épreuves.
C(n,k) compte les façons de choisir k succès parmi n ; p^k × (1−p)^(n−k) est la probabilité d'une séquence donnée.
La somme Σ P(X=k) sur k = 0 à n vaut 1 (propriété fondamentale).
P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k), k = 0, 1, …, n

Espérance et variance

Intermédiaire
E(X) = np et Var(X) = np(1−p) pour X ~ B(n,p).
En moyenne, on obtient np succès ; la variance est maximale pour p = 0,5 et tend vers 0 quand p → 0 ou p → 1.
Par linéarité : E(X) = n × E(Bernoulli) = np. Ne pas confondre np (espérance) et np(1−p) (variance).
E(X) = np ; Var(X) = np(1−p) ; σ = √[np(1−p)]

Lien avec la loi de Bernoulli

Intermédiaire
B(1,p) est le cas n = 1 ; B(n,p) est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes.
La binomiale généralise le tirage unique à n répétitions indépendantes.
Si n = 1, B(1,p) = Bernoulli. La variance de Bernoulli est p(1−p), pas p.

Approximation normale

Intermédiaire
Pour n grand et np et n(1−p) suffisamment grands (règle empirique : ≥ 5), B(n,p) ≈ N(np, np(1−p)).
Le théorème central limite justifie l'approximation gaussienne du nombre de succès.
Base de l'approximation normale de la proportion p̂ = X/n ~ N(p, p(1−p)/n).
P(X ≤ k) ≈ P(Z ≤ (k + 0,5 − np) / √[np(1−p)]) avec correction de continuité

Approximation de Poisson

Intermédiaire
Quand n → ∞, p → 0 et np → λ constant, B(n,p) ≈ Poisson(λ).
Modélise les événements rares : beaucoup d'épreuves, faible probabilité individuelle.
Critère pratique : n ≥ 50 et p ≤ 0,05 (ou np < 10 selon les manuels).
n grand, p petit, λ = np → B(n,p) ≈ Po(λ)
Quick check

Dans une loi binomiale B(n, p), Var(X) est égal à :

Schema
Diagramme en bâtons complet de la loi binomiale B de paramètres 10 et 0,30, centré autour de trois succès.
Distribution de B(10 ; 0,30)Pour X suivant B(10 ; 0,30), la distribution est discrète et atteint son maximum autour de l'espérance np = 3. La somme des onze probabilités, de k = 0 à 10, vaut 1.
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Auteurs et références

Jacob Bernoulli Loi binomiale et Ars Conjectandi (1713)
Pierre-Simon Laplace Approximation normale de la binomiale
Georges Saporta Probabilités et statistique — manuel L2
Siméon-Denis Poisson Loi de Poisson comme limite de la binomiale
  • Bernoulli, J. (1713) — Ars Conjectandi, Thurneysen Brothers
  • Saporta, G. (2019) — Probabilités, analyse des données et statistique, Editions Technip
  • Casella, G.; Berger, R. (2002) — Statistical Inference, Duxbury Press
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Pièges fréquents à éviter

Erreur Confondre E(X) = np et Var(X) = np(1−p)
Pourquoi np est l'espérance (moyenne) ; np(1−p) est la variance (dispersion).
Solution Retenir : E = np, Var = np(1−p). La variance inclut le facteur (1−p).
Erreur Appliquer la binomiale sans indépendance des épreuves
Pourquoi L'indépendance et la constance de p sont des conditions essentielles de B(n,p).
Solution Vérifier que les épreuves sont i.i.d. avant d'utiliser la formule binomiale.
Erreur Confondre binomiale et loi géométrique
Pourquoi La binomiale compte le nombre de succès sur n essais ; la géométrique modélise le rang du premier succès.
Solution Binomiale = « combien de succès sur n ? » ; géométrique = « à quel essai le premier succès ? »
Erreur Oublier la correction de continuité dans l'approximation normale
Pourquoi Sans correction (+0,5), l'approximation est moins précise pour une loi discrète.
Solution Utiliser (k + 0,5 − np) / σ dans la standardisation.
Quick check

Dans une loi binomiale B(n, p), Var(X) est égal à :

Schema
Arbre de décision des conditions de la loi binomiale et de ses approximations normale et de Poisson.
Reconnaître et approximer une loi binomialeLes quatre conditions — nombre fixé d'essais, indépendance, deux issues et probabilité constante — précèdent tout calcul. Une approximation ne change pas le modèle initial et exige ses propres conditions.
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Questions types d'examen

  1. Calculez P(X = k) pour X ~ B(n,p) à partir de la formule binomiale.
  2. Quelle est l'espérance et la variance d'une loi binomiale B(n,p) ?
  3. Justifiez que B(n,p) est la somme de n Bernoulli indépendantes.
  4. Dans quelles conditions approxime-t-on B(n,p) par une loi normale ou de Poisson ?
  5. Interprétez la binomiale dans un contexte concret (contrôle qualité, sondage).
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À retenir

B(n,p) compte les succès sur n épreuves de Bernoulli i.i.d. : P(X=k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k). E(X)=np, Var(X)=np(1−p). Cas limite : n=1 → Bernoulli. Approximations : normale si np et n(1−p) ≥ 5 ; Poisson si n grand et p petit (λ=np). L'examinateur attend formules, conditions d'application et distinction binomiale/géométrique/Poisson.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que binomiale en Statistiques & Probabilités ?

La loi binomiale B(n,p) modélise le nombre de succès obtenus lors de n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune de probabilité de succès p. En L2 statistiques et probabilités, c'est l'une des lois discrètes fondamentales : elle relie la loi de…

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Comment réviser binomiale efficacement ?

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Ce QCM est-il adapté au programme de L2 ?

Oui, nos questions correspondent au programme officiel de L2 du cursus Economie.

Les QCM fonctionnent-ils sur mobile ?

Oui, CampusQCM est entièrement optimisé pour smartphones et tablettes. Révisez binomiale où que vous soyez, vos scores se synchronisent entre vos appareils.

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