La loi du chi-deux : fondement des tests d'ajustement
La loi du chi-deux χ²(k) modélise la somme des carrés de k variables normales centrées réduites indépendantes. En L2 statistiques, elle est au cœur des tests d'ajustement, d'indépendance et de…
chi-deux
La loi du chi-deux χ²(k) modélise la somme des carrés de k variables normales centrées réduites indépendantes. En L2 statistiques, elle est au cœur des tests d'ajustement, d'indépendance et de la distribution de la variance empirique. Comprendre sa définition, ses moments (E = k, Var = 2k) et le calcul des degrés de liberté est indispensable pour les QCM et les examens de probabilités appliquées.
Objectifs d'apprentissage
- Définir la loi χ²(k) et interpréter les degrés de liberté
- Calculer espérance et variance du chi-deux
- Appliquer la loi à la variance empirique S²
- Comprendre le test du chi-deux d'indépendance
- Utiliser l'additivité et la convergence vers la normale
Concepts clés à maîtriser
Définition
Essentielχ²(k) = Σ_{i=1}^k Z_i² avec Z_i ~ N(0,1) indépendantes
Moments et forme
EssentielE = k ; Var = 2k
Variance empirique gaussienne
Essentiel(n−1)S²/σ² ~ χ²(n−1)
Test d'indépendance
Intermédiaireχ² = Σ (O_ij − E_ij)² / E_ij ; ddl = (I−1)(J−1)
Additivité
EssentielLien avec Student et Fisher
IntermédiaireQuand k → ∞, la loi χ²(k) tend vers :
Auteurs et références
- Pearson, K. (1900) — On the Criterion that a given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from Random Sampling, Philosophical Magazine
- Saporta, G. (2019) — Probabilités, analyse des données et statistique, Editions Technip
- Casella, G.; Berger, R. (2002) — Statistical Inference, Duxbury Press
Pièges fréquents à éviter
La variable (n-1)S²/σ² suit une loi :
Questions types d'examen
- Définissez la loi χ²(k) et donnez E et Var.
- Pourquoi (n−1)S²/σ² suit-il un χ²(n−1) ?
- Expliquez le principe du test du chi-deux d'indépendance.
- Calculez les ddl d'un tableau de contingence I×J.
- Que se passe-t-il quand k → ∞ pour la loi χ²(k) ?
À retenir
χ²(k) = somme de k carrés de N(0,1) indépendantes. E = k, Var = 2k, loi positive asymétrique. (n−1)S²/σ² ~ χ²(n−1). Tests d'indépendance : comparer effectifs observés et théoriques, ddl = (I−1)(J−1). Additivité des ddl. L'examinateur attend définition, moments, ddl et applications aux tests.
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Questions fréquentes
Qu'est-ce que chi-deux en Statistiques & Probabilités ?
La loi du chi-deux χ²(k) modélise la somme des carrés de k variables normales centrées réduites indépendantes. En L2 statistiques, elle est au cœur des tests d'ajustement, d'indépendance et de la distribution de la variance empirique. Comprendre sa définition, ses…
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