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Statistiques & Probabilités · L2

La loi normale : modèle central de la statistique en L2 économie

La loi normale N(μ, σ²) est la distribution de référence en probabilités et statistiques appliquées à l'économie. En L2, elle modélise des phénomènes continus (rendements, erreurs de mesure, variables macro)…

10 questions Corrections détaillées Niveau L2
16 min de cours ~5 min de QCM 8 sections Intermédiaire
1 Introduction 16 min restant
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normale

La loi normale N(μ, σ²) est la distribution de référence en probabilités et statistiques appliquées à l'économie. En L2, elle modélise des phénomènes continus (rendements, erreurs de mesure, variables macro) et sert de base au théorème central limite (TCL), aux intervalles de confiance et…

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Objectifs d'apprentissage

  • Définir la loi normale N(μ, σ²) et la loi centrée réduite N(0, 1)
  • Appliquer la réduction (X − μ)/σ pour utiliser la table Φ
  • Utiliser les règles empiriques 68 %, 95 % et 99,7 %
  • Calculer les transformations affines et la somme de normales indépendantes
  • Interpréter la table de répartition et les quantiles critiques (u₀,₀₅ ≈ 1,96)
  • Relier la loi normale au TCL et aux applications économiques
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Concepts clés à maîtriser

Loi normale et paramètres

Intermédiaire
Variable aléatoire continue de densité en cloche, paramétrée par μ (espérance) et σ² (variance).
Distribution symétrique autour de μ, décroissance rapide dans les queues.
Ne pas confondre σ et σ² dans l'énoncé de la loi.
X ~ N(μ, σ²) ; notation : σ² = variance, σ = écart-type

Loi centrée réduite N(0, 1)

Essentiel
Cas particulier avec E(Z) = 0 et σ(Z) = 1.
Référence universelle pour les tables statistiques.
Toute normale se ramène à N(0, 1) par réduction.

Réduction centrée réduite

Intermédiaire
Si X ~ N(μ, σ²), alors Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1).
Centrer (soustraire μ) et réduire (diviser par σ) standardise la variable.
Étape systématique avant de lire Φ dans la table.
Z = (X − μ) / σ

Symétrie et moments

Essentiel
Distribution symétrique : moyenne = médiane = mode = μ.
Probabilités égales de part et d'autre de μ.
P(X < μ) = P(X > μ) = 0,5 pour une normale.

Règles empiriques (1σ, 2σ, 3σ)

Intermédiaire
≈ 68 % dans [μ ± σ], ≈ 95 % dans [μ ± 2σ], ≈ 99,7 % dans [μ ± 3σ].
Concentration de la masse de probabilité autour de la moyenne.
Piège QCM fréquent : confondre intervalle 1σ (68 %) et 2σ (95 %).

Transformation affine et somme

Intermédiaire
aX + b ~ N(aμ + b, a²σ²) ; si X, Y normales indépendantes : X + Y ~ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²).
La normale est stable par combinaison linéaire.
Ne pas sommer les écart-types σ₁ + σ₂ mais les variances.
Var(aX + b) = a²σ² ; Var(X + Y) = σ₁² + σ₂² (indépendance)

Table Φ et quantiles

Intermédiaire
Φ(x) = P(Z ≤ x) pour Z ~ N(0, 1) ; quantile uα tel que P(Z > uα) = α.
La table donne des probabilités cumulées, pas la densité.
Ne pas confondre Φ(x) avec f(x) ; u₀,₀₅ ≈ 1,96 est une valeur critique standard.
u₀,₀₅ ≈ 1,96 pour intervalle bilatéral à 95 %

Universalité et TCL

Intermédiaire
Le TCL : la somme (ou moyenne) de n variables i.i.d. de variance finie tend vers une normale quand n → ∞.
Explique pourquoi de nombreux phénomènes économiques sont approximativement normaux.
Justifie l'usage de la normale pour les estimateurs et les tests en économétrie.
Quick check

Pour une loi normale, environ 95% des observations sont comprises dans :

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Auteurs et références

Carl Friedrich Gauss Loi normale et moindres carrés
Pierre-Simon Laplace Théorème central limite (forme primitive)
Abraham de Moivre Approximation binomiale par la courbe normale
Georges Saporta Probabilités et statistique — manuel L2
  • Gauss, C. F. (1809) — Theoria motus corporum coelestium, Méthode des moindres carrés et loi des erreurs
  • Saporta, G. (2019) — Probabilités, analyse des données et statistique, Editions Technip
  • Casella, G.; Berger, R. L. (2002) — Statistical Inference, Duxbury Press
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Pièges fréquents à éviter

Erreur Confondre variance σ² et écart-type σ dans N(μ, σ²)
Pourquoi La notation N(μ, σ²) désigne la variance au second paramètre, pas l'écart-type.
Solution Lire attentivement : σ² = variance, σ = √σ².
Erreur Attribuer 95 % à l'intervalle [μ ± σ] au lieu de [μ ± 2σ]
Pourquoi 68 % ≈ 1σ, 95 % ≈ 2σ, 99,7 % ≈ 3σ.
Solution Mémoriser 68-95-99,7 et associer chaque pourcentage au bon multiple de σ.
Erreur Croire que la table donne la densité f(x)
Pourquoi La table standard donne Φ(x) = P(Z ≤ x), la fonction de répartition.
Solution Identifier si la question porte sur P(Z ≤ a) ou sur f(a).
Erreur Sommer les écart-types au lieu des variances pour X + Y
Pourquoi Var(X + Y) = σ₁² + σ₂² (si indépendants), pas σ₁ + σ₂.
Solution Toujours travailler en variance pour les sommes de variables indépendantes.
Erreur Oublier le carré dans Var(aX + b) = a²σ²
Pourquoi La variance est homogène de degré 2 ; Var(2X) = 4Var(X).
Solution Appliquer systématiquement a² sur la variance.
Quick check

Pour une loi normale N(μ, σ²), E(X) est égal à :

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Questions types d'examen

  1. Quelles sont les caractéristiques de N(0, 1) ?
  2. Si X ~ N(μ, σ²), quelle est la loi de (X − μ)/σ ?
  3. Quelle proportion d'observations dans [μ ± 2σ] ?
  4. Si X ~ N(μ, σ²), quelle est la loi de aX + b ?
  5. Quelle est la loi de la somme de deux normales indépendantes ?
  6. Que donne la table de la loi N(0, 1) ? Quel quantile pour α = 5 % ?
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À retenir

X ~ N(μ, σ²) : cloche symétrique, μ = moyenne = médiane = mode. Réduction : Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1). Règles : 68 % (±σ), 95 % (±2σ), 99,7 % (±3σ). Transformation : aX + b ~ N(aμ + b, a²σ²). Somme indépendante : variances s'additionnent. Table = Φ(x) = P(Z ≤ x) ; u₀,₀₅ ≈ 1,96. TCL : universalité en économie et stats. L'examinateur attend réduction, règles empiriques, propriétés et lecture de table.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que normale en Statistiques & Probabilités ?

La loi normale N(μ, σ²) est la distribution de référence en probabilités et statistiques appliquées à l'économie. En L2, elle modélise des phénomènes continus (rendements, erreurs de mesure, variables macro) et sert de base au théorème central limite (TCL), aux…

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Comment réviser normale efficacement ?

Commencez par le mode Révision, lisez les corrections, refaites les erreurs après quelques jours, puis passez en mode Examen.

Ce QCM est-il adapté au programme de L2 ?

Oui, nos questions correspondent au programme officiel de L2 du cursus Economie.

Les QCM fonctionnent-ils sur mobile ?

Oui, CampusQCM est entièrement optimisé pour smartphones et tablettes. Révisez normale où que vous soyez, vos scores se synchronisent entre vos appareils.

Les QCM sont-ils gratuits ?

Oui, tous nos QCM sont entièrement gratuits. Créer un compte vous permet de sauvegarder vos scores et suivre votre progression, mais ce n'est pas obligatoire.

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