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Statistiques & Probabilités · L2

La transformation de variable aléatoire : loi de Y = g(X)

La transformation de variable consiste à déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire Y obtenue comme fonction d'une autre variable X. En L2 statistiques-probabilités, les QCM CampusQCM (chapitres changement-variable,…

4 questions Corrections détaillées Niveau L2
16 min de cours ~5 min de QCM 8 sections Avancé
1 Introduction 16 min restant
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transformation

La transformation de variable consiste à déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire Y obtenue comme fonction d'une autre variable X. En L2 statistiques-probabilités, les QCM CampusQCM (chapitres changement-variable, jacobien, fonction-repartition, lois-usuelles) testent la méthode de la fonction de répartition, la formule du…

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Objectifs d'apprentissage

  • Poser le problème de la loi de Y = g(X)
  • Appliquer la méthode de la fonction de répartition
  • Utiliser la formule du changement de variable et le jacobien
  • Traiter les cas monotones et non monotones
  • Illustrer par des transformations usuelles
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Concepts clés à maîtriser

Problème de transformation

Intermédiaire
Connaissant la loi de X, déterminer la loi de Y = g(X).
Une fonction d'une variable aléatoire est encore aléatoire : quelle est sa loi ?
QCM changement-variable : loi de g(X).

Méthode de la fonction de répartition

Intermédiaire
On calcule F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) puis on dérive pour obtenir la densité.
Passer par la fonction de répartition, toujours valable.
QCM fonction-repartition : méthode générale.

Formule du changement de variable

Intermédiaire
Pour g monotone : f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |d g⁻¹/dy| (jacobien).
On transporte la densité en corrigeant par l'étirement local.
QCM jacobien : facteur de correction.

Cas non monotone

Intermédiaire
Si g n'est pas monotone (ex. Y = X²), on somme les contributions des antécédents.
Plusieurs x donnent le même y : on additionne.
QCM : Y = X² → deux branches.

Transformations usuelles

Intermédiaire
Standardisation (Z = (X − μ)/σ), carré d'une normale (khi-deux), transformation inverse pour simuler.
Des transformations clés relient les grandes lois.
Relier à loi-normale et khi-deux.
Quick check

Si X ~ N(μ, σ²), alors aX + b suit :

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Auteurs et références

Pierre-Simon de Laplace Transformations et probabilités
Carl Friedrich Gauss Loi normale
Harald Cramér Méthodes mathématiques de la statistique
William Feller Théorie des probabilités
  • Feller, W. (1968) — An Introduction to Probability Theory, Wiley
  • Cramér, H. (1946) — Mathematical Methods of Statistics, Princeton University Press
  • Casella, G.; Berger, R. (2002) — Statistical Inference, Duxbury
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Pièges fréquents à éviter

Erreur Oublier le jacobien
Pourquoi La densité doit être corrigée par |d g⁻¹/dy|.
Solution Toujours inclure le jacobien.
Erreur Appliquer la formule monotone à un cas non monotone
Pourquoi Pour Y = X², il faut sommer les antécédents.
Solution Vérifier la monotonie.
Erreur Confondre fonction de répartition et densité
Pourquoi La densité est la dérivée de la fonction de répartition.
Solution Dériver F pour obtenir f.
Erreur Négliger le support de Y
Pourquoi Le domaine de Y change avec la transformation.
Solution Déterminer le nouveau support.
Quick check

Cov(aX + b, cY + d) est égal à :

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Questions types d'examen

  1. Comment déterminer la loi de Y = g(X) ?
  2. En quoi consiste la méthode de la fonction de répartition ?
  3. Quelle est la formule du changement de variable avec jacobien ?
  4. Comment traiter le cas Y = X² (non monotone) ?
  5. Quelle transformation relie la loi normale à la loi du khi-deux ?
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À retenir

Pour la loi de Y = g(X) : méthode de la fonction de répartition (générale) ou formule du changement de variable f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y))·|jacobien| (g monotone). Cas non monotone (Y = X²) : sommer les antécédents. Attention au support. L'examinateur attend le jacobien et la méthode de la fonction de répartition.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que transformation en Statistiques & Probabilités ?

La transformation de variable consiste à déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire Y obtenue comme fonction d'une autre variable X. En L2 statistiques-probabilités, les QCM CampusQCM (chapitres changement-variable, jacobien, fonction-repartition, lois-usuelles) testent la méthode de la fonction de…

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Ce QCM est-il adapté au programme de L2 ?

Oui, nos questions correspondent au programme officiel de L2 du cursus Economie.

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Oui, CampusQCM est entièrement optimisé pour smartphones et tablettes. Révisez transformation où que vous soyez, vos scores se synchronisent entre vos appareils.

Les QCM sont-ils gratuits ?

Oui, tous nos QCM sont entièrement gratuits. Créer un compte vous permet de sauvegarder vos scores et suivre votre progression, mais ce n'est pas obligatoire.

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